منطق مربته بالاتر یا نظریه مجموعه ها؟

منطقی که توسط راسل و  فرگه توسعه یافت معروف به تئوری کوانتیفیکشن مارا قادر ساخت تا بسیاری از ساختارهایی که در منطق سنتی غیر قابل بررسی بودند را مورد تحلیل قرار دهیم. عناصر اصلی این منطق سورهای منطقی یا کوانتیفایر ها، تابع گزاره ای یا رابطه ها و ثابت های منطق گزاره ای بودند. در منطق مرتبه اول فقط سور ها فقط اشیا موجود در دامنه تعبیر بودند، راسل و فرگه گزاره هایی را که سور روی رابطه ها بسته میشد را هم جز منطق بحساب می آرودند، اگر ما مجاز به استفاده از چنین سور هایی باشیم میتوانیم ادعاهایی در مورد خود صفات و محمولات یا مشخصا مجموعه ها کنیم، مثلا عبارت میگوید که مجموعه ای وجود دارد که هر کدام از اعضای آن خاصیت Q را داراست. اما سوال اینجاست، آیا می توان مرز مشخصی برای منطق و ریاضیات یا به طور خاص نظریه مجموعه ها قائل شد؟ فرض کنیم که بخواهیم مرزی را تعیین کنیم، ما گزاره های مرتبه اول را جز منطق به حساب می آوریم، یعنی گزاره هایی که سور ها فقط روی اشیا عمل میکنند، و منطق مرتبه بالاتر که سورها را میتوانیم در مورد خود محمولات و رابطه ها هم بکار ببریم را جز ریاضیات بحساب می آوریم. یعنی گزاره هایی که فقط دارای سور برای اشیا هستند را گزاره منطقی تلقی میکنیم و گزاره هایی که سور برای محمولات را دارا هستند را گزاره ریاضی. اما اینجا با مشکلی روبرو می شویم. وقتی که منطقدان یک سیستم فورمال را برای استخراج گزاره های مرتبه اول توسعه می دهد به نحو ضمنی یک فعالیت مربته بالاتر انجام میدهد، یعنی منطق دان یک فعالیت ریاضی انجام می دهد. چون وقتی از اعتبار گزاره های مرتبه اول (قضیه منطق) حرف میزند ادعا می کند که این گزاره در تمامی تعابیرها معتبر است، یعنی به نحو ضمنی یک سور برای خود محمولات و تعابیر بکار می برد. اگر این کار را برای مرتبه های بالاتر نیز انجام دهیم باز با چنین شرایطی روبرو میشویم،  پس اینجا اگر بتوان از قضیه های ریاضی و قضیه های منطقی حرف زد، نمیتوان فعالیت ریاضی و فعالیت منطقی را به نحو مشخص و خرسند کننده ای متمایز ساخت.هر گونه قائل شدن تمایز بین ایندو به نحوی اختیاریست. کواین معتقد است که که حقایق منطقی فقط نمونه های جایگزین شده فورم ها هستند و خود فورم ها قضیای ریاضی هستند نه منطقی.همانطور که دیدیم این موضع چندان قابل دفاع نیست.