ست تئوری [1]

قصد دارم طی پست هایی یادداشت هایی که حین مطالعه نظریه مجموعه ها برداشتم رو منتشر کنم-این پست ها بیشتر جنبه تاریخی دارند و نه فنی.

در زیر اصول سیستم زرملو فرانکل ZF  را معرفی میکنیم ،‌یا بهتر است بگوییم زرملو-فرانکل-اسکولم. چرا که توسط زرملو معرفی و توسط فرانکل و اسکولم اصلاح شد.

ZF1:( اصل گسترش- Axiom of extension): اگر a ,b مجموعه باشند و برای هر x∈a داشته باشیم اگر و تنها اگر x∈b آنگاه a=b.
ZF2:( اصل زیرمجموعه گی-Axiom schema of subsets ): برای هر مجموعه a وجود دارد مجموع b که برای هر  x∈b داریم اگر و تنها اگر  x∈a و A(x) . که عبارت آخری شرطی است برای x که درآن هیچ متغییر آزادی وجود ندارد.
بر عکس اصل اول، اصل دوم شامل بی نهایت اصل موضوعه است. چرا که شرایط مختلفی را می‌توان برای هر یک از اصول در نظر گرفت و به همین خاطر به این نوع اصول. اصول شماتیک axiom schema گویند. با این دو اصل به راحتی می‌توان زیر مجموعه ها را تعریف کرد.
واضح است که اصل دوم جایگذینی است برای اصل تجرید principle of abstraction  تا از تناقضاتی که اصل قبلی در برداشت اجتناب شود. در‌واقع این اصل فقط برای یک مجموعه موجود اعمال می‌شود.  این اصل نام های دیگری نیز دارد مثل اصل مجزا سازی seperating axiom .
ZF3:( اصل زوج سازی - Axiom of pairing): اگر a,b مجموعه باشند آنگاه مجموعه c وجود دارد که 
a∈c و b∈c.
می‌توان با اضافه کردن یک اصل که می گوید«حد اقل یک مجموعه» وجود دارد و ترکیب آن با اصل زیر مجموعگی مجموعه تهی را اینگونه ساخت:
{x∈b | x≠x }

ادامه مطلب